ASP.NETで、接続文字列をWeb.configに書くことが多いと思いますが、クラスライブラリでTableAdapter経由でDBアクセスする場合に、Webアプリ用の接続文字列を変更しても、TableAdapterはそれを使ってくれるわけではないのですね。
仕組み自体は、NAgiler航海日誌v2さんのこちらを参照。
で、その対応としては、Web.configに、Webアプリ用の接続文字列とは別に、クラスライブラリ用の接続文字列を並べて定義すると言うことになります。
この対応方法はVSUGフォーラムのこちらから得たのですが、・・・Properties・・・とは限らないようですので、クラスライブラリの構成ファイルに保存された接続文字列をそのまま使うのが良いようです。

いやぁ、やられましたよ。くやしいな～